Der Mensch kommt schon sehr früh in seinem Leben mit Zahlen in Berührung. Ganz kleine Kinder lernen schon zu zählen und mit Zahlen umzugehen.

Meine allererste Erinnerung an das Rechnen mit Zahlen kam so: Wir waren erst vor ganz kurzer Zeit in eine neue Wohnung in Ottakring gezogen und ich durfte in den sogenannten Hof runtergehen. Die Sozialwohnungen in Wien, die Gemeindebauten, haben einige Grünanlagen zwischen den verschiedenen Wohnblöcken. Und dort konnte ich mich frei bewegen. Damals gab es auch wenig Verkehr, so dass ich ohne besondere Aufsicht spielen konnte. Es war noch bevor ich in die Schule kam, als ich mich mit einem größeren Buben anfreundete. Er war erstaunt, dass ich einfache Additionen in meinem Alter schon beherrschte. Er erzählte mir dann von den Multiplikationen, die wir Malrechnungen nannten. Ich glaube nicht, dass ich es vollständig begriffen habe, was genau bei den Rechenoperationen geschieht, aber ich denke schon, dass ich verstanden habe, dass 2 * 2 gleich 4 ist und 2*3 gleich 6 ist. Offenbar ist mir aufgefallen, das beim Malrechnen das Ergebnis zumindest gleich oder größer ist, als beim zusammenzählen, beim Addieren. Als er mir aber erklärte, 1* 1 gleich 1 ist, bin ich komplett ausgestiegen, das wollte nicht in meinen knapp fünfjährigen Kopf hinein.

Ich besuchte später eine Technikerschule, das TGM in Wien, wo Mathematik ein wichtiges Unterrichtsfach ist. Ich habe nie besonders gute Noten in Mathematik bekommen, wahrscheinlich lag es daran, dass ich nicht besonders viel geübt und gelernt habe. Nachträglich betrachtet tut es mir eigentlich leid, nicht mehr sehr viel über Mathematik zu wissen.

In meinem Beruf musste ich keine komplizierte Mathematik können. Prozentrechnen, wie es bei Kalkulationen von Kosten und Preisen erforderlich ist, halte ich nicht für besonders anspruchsvoll, auch wenn die verschiedenen Varianten wie In-100, Von-100 oder Auf-100 jeweils richtig anzuwenden sind.

Erst viel später rückten die Zahlen wieder in meinen Fokus.

Es gab eine Zeit, da habe ich nicht besonders gut geschlafen, ich hatte Schwierigkeiten beim Einschlafen und bin in der Nacht öfters aufgewacht und konnte dann lange nicht wieder einschlafen. Vielleicht kennt ihr das auch: die Gedanken kreisen um dieses und jenes, man wälzt sich von der einen auf die andere Seite und probiert alle möglichen Tricks aus, wie man einschlafen könnte. Das beginnt mit dem berühmten Schäfchen zählen, von 1 bis 100 und wieder zurückzählen, dann noch einmal auf Englisch, dann auf Französisch und Italienisch. Ich habe es mit autogenem Training probiert, versuchte also durch Konzentration darauf, mein linkes Bein schwer machen, dann den rechten Arm, danach rechtes Bein und zuletzt den linken Arm. Und dann wieder von vorne.

Irgendwann – ich weiß überhaupt nicht, wie ich darauf kam – habe ich begonnen Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Da nimmt man eine Zahl, sagen wir 348 und überlegt, was sind die Primfaktoren dieser Zahl, aus welchen Primzahlen ist sie zusammengesetzt.

Da jetzt viele Zahlen und Rechenoperationen kommen, nimm dir vielleicht ein Blatt Papier und einen Stift zur Hand, falls du mitrechnen willst. Ich spiele euch deshalb ein wenig Musik zwischendurch vor ….

(Musik)

Vielleicht kennt ihr noch einige der Regeln, mit denen man prüfen kann, ob eine Zahl das Produkt einer Primzahl ist: zunächst einmal sind gerade Zahlen keine Primzahlen mit Ausnahme der 2, denn sie sind zumindest durch 2 teilbar. Dann kannst du prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, indem du die Ziffernsumme bildest, also in unserem Beispiel die Ziffernsumme von 348 also 3 + 4 + 8 ergibt 15. Jetzt könntest Du noch die Ziffernsumme von 15 bilden, das ist 6. 15 und 6 sind beide durch 3 teilbar, also ist 348 ebenfalls durch 3 teilbar. Wenn die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sind, dann ist eine Zahl von beliebiger Größe auch durch 4 teilbar. In unserem Fall sind die letzten beiden Stellen 48, also 4 * 12, somit ist 348 auch durch 4 teilbar. Ob eine Zahl durch 5 teilbar ist, erkennt man an der letzten Stelle: wenn die letzte Stelle 0 oder 5 ist, ist eine Zahl durch 5 teilbar. Also ist 348 nicht durch 5 teilbar. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Das trifft auch bei 348 zu. Für 7 kenne ich keine Testmethode, also muss man probieren. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind. Das ist allerdings nicht immer ganz offensichtlich. Also probiere ich meistens die Zahl zunächst durch 4 zu dividieren und dann später noch durch 2, falls sie doch durch 8 teilbar gewesen wäre, oder ich vergesse das Ergebnis der Teilung durch 4 und Teile die Zahl durch 8. Wenn du wissen willst, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, erkennst du auch das an der Ziffernsumme. Wenn die Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist die Zahl durch 9 teilbar. Nachdem bei 348 die Ziffernsumme 15 ist, kann 348 nicht durch 9 ohne Rest dividiert werden.

Alles das, was ich vor Jahren – nein vor Jahrzehnten – in der Schule gelernt habe, habe ich in schlaflosen Nächten aufgefrischt.

Bevor wir versuchen, 348 in seine Primfaktoren zu zerlegen, ein paar Hinweise zu Primzahlen:

Primzahlen sind definiert als Zahlen, die nur durch 1 oder sich selbst teilbar sind. Per Definition ist 1 keine Primzahl, weil sonst jede Zahl durch 1 als Primfaktor teilbar wäre. Umgekehrt ausgedrückt, sind Primzahlen gewissermaßen Löcher in der Reihe der Produkte aus Multiplikationen. Daraus ergibt sich, dass die Reihe der Primzahlen mit 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 und so weiter beginnt.

Kommen wir zu unserer Beispielszahl 348 zurück. Wir haben festgestellt, dass 348 sowohl durch 4 als auch durch 3 teilbar ist. 348 dividiert durch 4 – ja wie macht man das im Kopf? Ich stelle mir die Zahl aufgeschrieben vor: erst 3 , dann 4 und dann die 8. Die ersten 2 Stellen sind 3 und 4, also 34, 4 mal 8 gleich 32. Also bleiben 2 Rest. Dieser Rest von 2 und die nächste Stelle, die 8 sind 28. 28 geteilt durch 4 ergibt 7. Unser Ergebnis ist also die 8 von vorhin und 7 also 87. Zur Kontrolle können wir die Ziffernsumme von 87 bilden. Das ergibt zufälligerweise wieder 15, also ist 87 durch 3 teilbar. Nachdem 8 größer ist als 3, können wir die 8 durch 3 teilen mit dem Ergebnis 3*2 gleich 6 und einem Rest von 2. Diese 2 und die nächste Stelle 7 ergeben 27, und wenn man 27 durch 3 teilt, ergibt gibt es 9. Unser Ergebnis der Division von 87 / 3 ist gleich 29. Mit 29 haben wir eine Primzahl als Ergebnis, und können nicht weiter teilen.

Das Ergebnis der Zerlegung von 348 in Primfaktoren ist somit 29 * 3 mal 2 * 2. Wie du siehst, habe ich die Division durch 4 in die Primfaktoren von 4 nämlich 2 * 2 aufgeteilt.

In vielen Nächten und langen Phasen, in denen ich nicht einschlafen konnte, habe ich insgesamt sicher mehrere tausend Zahlen in Primfaktoren zerlegt. Das geht natürlich nur, wenn auch größere Zahlen dabei sind, vor allem vierstellige Zahlen. Die Hilfestellungen mit dem Testen, von dem ich vorhin gesprochen habe, ist ja enden wollend. Bei größeren Zahlen ist es erforderlich Divisionen durch alle möglichen Primzahlen durchzuführen, um herauszufinden, ob die Zahl teilbar ist oder selbst eine Primzahl. Wenn Du eine größere Zahl wie 1549 in Angriff nimmst, die weder durch 2 noch durch 3 oder 5 teilbar ist, bleibt dir nichts anderes übrig, als zu prüfen, ob die Zahl durch 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter teilbar ist. Wenn ich beispielsweise die Zahl 1549 durch 19 dividiere, ergibt das für die ersten 3 Stellen, also für 154: 19 mal 8 gleich 152, bleibt 2 Rest. Jetzt noch die 2 vom Rest an der Zehnerstelle und die vierte Stelle also 9 auf der Einerstelle ergibt 29. 29 geteilt durch 19 geht 1-mal mit 10 Rest. Der Test ergibt also 1549 geteilt durch 19 gleich 81 mit 10 Rest. 1549 ist somit nicht durch 19 ohne Rest teilbar.

Wenn wir die gleiche Rechnung jetzt mit der Primzahl 41 durchführen würden, ist das Ergebnis 37 und der Rest gleich 32. Sobald das Ergebnis kleiner ist als die Zahl, mit der ich teste, brauche ich nicht mehr weiterzumachen. In diesem Fall hat sich herausgestellt, dass 1549 eine Primzahl ist.

Ein bisschen viele Zahlen auf einmal, nicht wahr.

(Musikpause)

Anfangs musste ich beim Testen viel Herumprobieren und tüfteln, mittlerweile ist mir das Einmaleins der Primzahlen einigermaßen geläufig, sodass ich recht flott durch die kleineren Primzahlen komme, bei größeren wird es mühsam. Außerdem wollte ich meine Ergebnisse kontrollieren, und habe bei den Ergebnissen meiner Divisionen die Primfaktoren versucht im Kopf zu multiplizieren, um festzustellen, ob ich auch richtig gerechnet habe. Dazu versuche ich die Primfaktoren so zu multiplizieren, dass nur mehr 2 übrig bleiben Es ist wirklich nicht einfach 2 größere zweistelligen Zahlen zu multiplizieren. Das ist mir dann gelungen, als ich mir die 2 Zahlen als Fläche vorgestellt habe und zunächst die Zehnerstellen multipliziert habe und dann habe ich die Einerstellen am Rand der Fläche dazu gezählt.

Ein Thema, welches in Zusammenhang mit Primzahlen immer wieder diskutiert wird, ist, dass sie häufig paarweise, wie Zwillinge, auftauchen. Gehen wir noch einmal die Primzahlen von Anfang an durch. Da haben wir 2 und 3, dann folgen 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, dann kommt 23 und danach kommen 29,und 31, 37, 41 und 43.

Und da haben wir schon einige dieser Pärchen: 5 und 7, 11 und 13, 17und 19, 29 und 31 sowie 41 und 43. Solche Zwillinge kommen immer wieder vor.

Und jetzt muss ich euch von einem Aha-Erlebnis berichten, das ich irgendwann einmal in einer dieser schlaflosen Nächte hatte. Zwischen dem Paar 5 und 7 und dem Paar 11 und 13 liegen 3 Zahlen, die keine Primzahlen sind. Genauso zwischen dem Paar 11 und 13 und dem Paar 17 und 19. Diese Zahlen zwischen Primzahl-Paaren sind jeweils entweder durch 2 teilbar oder durch 3. Die Zahlen zwischen 13 und 17 beispielsweise sind 14 – teilbar durch 2, 15 – teilbar durch 3 und in diesem Fall auch durch 5 und dann 16 – wieder teilbar durch 2.  

Und jetzt kommt der Clou: die Zahl zwischen den Primzahl-Paaren liegt, ist immer durch die Zahl 6 teilbar. Zwischen 5 und 7 liegt die Zahl 6, zwischen 11 und 13 liegt 12, zwischen 17 und 19 liegt 18. Immer die Zahl 6 oder ein Vielfaches davon. Wäre ich nicht mit geschlossenen Augen im Bett gelegen, hätte es mich vom Hocker gehaut. Ich war ganz aufgeregt über diese Erkenntnis, und naturgemäß konnte ich in dieser Nacht nicht sofort wieder einschlafen.

Natürlich konnte ich es nicht lassen mich im Internet ein wenig umzuschauen, was es zum Thema Primzahlen nicht alles gibt. Der Beitrag in Wikipedia, der damals online war-es ist schon einige Jahre her – war nicht sehr aussagekräftig. Aber mittlerweile gibt es auf Wikipedia[1] sehr detaillierte Informationen zum Thema Primzahlen. Der Artikel ist in einer sehr gehobenen mathematischen Sprache formuliert, und ich habe Mühe dem stets zu folgen, da ich Mathematik lernen durfte, als noch nicht die Mengenlehre als Basis gedient hat.

Es gibt noch andere Eigenheiten von Primzahlen. Da die Primzahlen jeweils nur vor oder nach der Zahl 6 oder einem Vielfachen von 6 vorkommen, können alle Primzahlen entweder als ein Vielfaches von 4 plus 1 oder 4 plus 3 dargestellt werden. Ein Beispiel: die Zahl 17 ergibt sich aus 4 * 4 gleich 16 + 1. Die Primzahl 19 kann als 4 mal 4 gleich 16 + 3 dargestellt werden. Alle Primzahlen, die ein Vielfaches von 4 + 1 sind, können als Summe von 2 Quadratzahlen dargestellt werden. Nehmen wir als Beispiel die Primzahl 29. 7 mal 4 ergibt 28 + 1 gleich 29. Wenn wir jetzt 5 zum Quadrat nehmen, ergibt das 25 plus 4, als Quadratzahl von 2, gleich 29. Probiert es doch aus, es ist wirklich erstaunlich!

Eine andere Vermutung ist, dass jede gerade Zahl größer als zwei sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen lässt. Es gibt es zwar noch keinen endgültigen Beweis, sagen die Mathematiker, aber viele Indizien sprechen dafür.

Das wärs für heute! Ich hoffe der Ausflug in die Zahlenwelt ist auch für euch interessant gewesen. Mich Hat dieses Thema eine Zeit lang wirklich gefesselt. Mittlerweile schlafe ich wieder sehr gut, so dass ich nur mehr gelegentlich, um nicht ganz aus der Übung zu kommen, ein paar Zahlen im Kopf teste, ob es sich um eine Primzahl handelt oder in welche Primfaktoren ich sie zerlegen kann.

Mein nächster Beitrag wird sich mit einem literarischen Thema befassen. Mehr möchte ich diesmal nicht verraten.

Das Bild mit den Würfeln basiert auf einem Foto von erik-and-so-on auf Pixabay. Die Musik stammt von Josef Haydn, gespielt haben das London Symphony Orchestra und am Cello die grandiose Jacqueline du Pré.

Ich empfehle mich hiermit für diesmal und hoffe, ihr seid das das nächste Mal wieder dabei..

Passt auf euch auf und locker bleiben! 

PS: eine Anmerkung noch: wenn man feststellen will, ob eine Zahl eine Primzahl sein kann, lässt sich auch prüfen, ob die Zahl davor oder danach durch 6 teilbar ist … das ergibt sich aus dem oben gesagten.

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[1] Wikipedia, zuletzt besucht am 08.08.2026 https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl