{"id":307,"date":"2026-08-08T18:08:13","date_gmt":"2026-08-08T16:08:13","guid":{"rendered":"https:\/\/www.bimmerl.at\/?p=307"},"modified":"2026-08-08T18:08:13","modified_gmt":"2026-08-08T16:08:13","slug":"zauber-der-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/2026\/08\/08\/zauber-der-zahlen\/","title":{"rendered":"Zauber der Zahlen"},"content":{"rendered":"\n
\"Zauber<\/figure>\n\n\n\n

Der Mensch kommt schon sehr fr\u00fch in seinem Leben mit Zahlen in Ber\u00fchrung. Ganz kleine Kinder lernen schon zu z\u00e4hlen und mit Zahlen umzugehen.<\/p>\n\n\n\n

Meine allererste Erinnerung an das Rechnen mit Zahlen kam so: Wir waren erst vor ganz kurzer Zeit in eine neue Wohnung in Ottakring gezogen und ich durfte in den sogenannten Hof runtergehen. Die Sozialwohnungen in Wien, die Gemeindebauten, haben einige Gr\u00fcnanlagen zwischen den verschiedenen Wohnbl\u00f6cken. Und dort konnte ich mich frei bewegen. Damals gab es auch wenig Verkehr, so dass ich ohne besondere Aufsicht spielen konnte. Es war noch bevor ich in die Schule kam, als ich mich mit einem gr\u00f6\u00dferen Buben anfreundete. Er war erstaunt, dass ich einfache Additionen in meinem Alter schon beherrschte. Er erz\u00e4hlte mir dann von den Multiplikationen, die wir Malrechnungen nannten. Ich glaube nicht, dass ich es vollst\u00e4ndig begriffen habe, was genau bei den Rechenoperationen geschieht, aber ich denke schon, dass ich verstanden habe, dass 2 * 2 gleich 4 ist und 2*3 gleich 6 ist. Offenbar ist mir aufgefallen, das beim Malrechnen das Ergebnis zumindest gleich oder gr\u00f6\u00dfer ist, als beim zusammenz\u00e4hlen, beim Addieren. Als er mir aber erkl\u00e4rte, 1* 1 gleich 1 ist, bin ich komplett ausgestiegen, das wollte nicht in meinen knapp f\u00fcnfj\u00e4hrigen Kopf hinein.<\/p>\n\n\n\n

Ich besuchte sp\u00e4ter eine Technikerschule, das TGM in Wien, wo Mathematik ein wichtiges Unterrichtsfach ist. Ich habe nie besonders gute Noten in Mathematik bekommen, wahrscheinlich lag es daran, dass ich nicht besonders viel ge\u00fcbt und gelernt habe. Nachtr\u00e4glich betrachtet tut es mir eigentlich leid, nicht mehr sehr viel \u00fcber Mathematik zu wissen.<\/p>\n\n\n\n

In meinem Beruf musste ich keine komplizierte Mathematik k\u00f6nnen. Prozentrechnen, wie es bei Kalkulationen von Kosten und Preisen erforderlich ist, halte ich nicht f\u00fcr besonders anspruchsvoll, auch wenn die verschiedenen Varianten wie In-100, Von-100 oder Auf-100 jeweils richtig anzuwenden sind.<\/p>\n\n\n\n

Erst viel sp\u00e4ter r\u00fcckten die Zahlen wieder in meinen Fokus.<\/p>\n\n\n\n

Es gab eine Zeit, da habe ich nicht besonders gut geschlafen, ich hatte Schwierigkeiten beim Einschlafen und bin in der Nacht \u00f6fters aufgewacht und konnte dann lange nicht wieder einschlafen. Vielleicht kennt ihr das auch: die Gedanken kreisen um dieses und jenes, man w\u00e4lzt sich von der einen auf die andere Seite und probiert alle m\u00f6glichen Tricks aus, wie man einschlafen k\u00f6nnte. Das beginnt mit dem ber\u00fchmten Sch\u00e4fchen z\u00e4hlen, von 1 bis 100 und wieder zur\u00fcckz\u00e4hlen, dann noch einmal auf Englisch, dann auf Franz\u00f6sisch und Italienisch. Ich habe es mit autogenem Training probiert, versuchte also durch Konzentration darauf, mein linkes Bein schwer machen, dann den rechten Arm, danach rechtes Bein und zuletzt den linken Arm. Und dann wieder von vorne.<\/p>\n\n\n\n

Irgendwann – ich wei\u00df \u00fcberhaupt nicht, wie ich darauf kam – habe ich begonnen Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Da nimmt man eine Zahl, sagen wir 348 und \u00fcberlegt, was sind die Primfaktoren dieser Zahl, aus welchen Primzahlen ist sie zusammengesetzt.<\/p>\n\n\n\n

Da jetzt viele Zahlen und Rechenoperationen kommen, nimm dir vielleicht ein Blatt Papier und einen Stift zur Hand, falls du mitrechnen willst. Ich spiele euch deshalb ein wenig Musik zwischendurch vor \u2026.<\/p>\n\n\n\n

(Musik)<\/p>\n\n\n\n

Vielleicht kennt ihr noch einige der Regeln, mit denen man pr\u00fcfen kann, ob eine Zahl das Produkt einer Primzahl ist: zun\u00e4chst einmal sind gerade Zahlen keine Primzahlen mit Ausnahme der 2, denn sie sind zumindest durch 2 teilbar. Dann kannst du pr\u00fcfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, indem du die Ziffernsumme bildest, also in unserem Beispiel die Ziffernsumme von 348 also 3 + 4 + 8 ergibt 15. Jetzt k\u00f6nntest Du noch die Ziffernsumme von 15 bilden, das ist 6. 15 und 6 sind beide durch 3 teilbar, also ist 348 ebenfalls durch 3 teilbar. Wenn die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sind, dann ist eine Zahl von beliebiger Gr\u00f6\u00dfe auch durch 4 teilbar. In unserem Fall sind die letzten beiden Stellen 48, also 4 * 12, somit ist 348 auch durch 4 teilbar. Ob eine Zahl durch 5 teilbar ist, erkennt man an der letzten Stelle: wenn die letzte Stelle 0 oder 5 ist, ist eine Zahl durch 5 teilbar. Also ist 348 nicht durch 5 teilbar. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Das trifft auch bei 348 zu. F\u00fcr 7 kenne ich keine Testmethode, also muss man probieren. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind. Das ist allerdings nicht immer ganz offensichtlich. Also probiere ich meistens die Zahl zun\u00e4chst durch 4 zu dividieren und dann sp\u00e4ter noch durch 2, falls sie doch durch 8 teilbar gewesen w\u00e4re, oder ich vergesse das Ergebnis der Teilung durch 4 und Teile die Zahl durch 8. Wenn du wissen willst, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, erkennst du auch das an der Ziffernsumme. Wenn die Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist die Zahl durch 9 teilbar. Nachdem bei 348 die Ziffernsumme 15 ist, kann 348 nicht durch 9 ohne Rest dividiert werden.<\/p>\n\n\n\n

Alles das, was ich vor Jahren – nein vor Jahrzehnten – in der Schule gelernt habe, habe ich in schlaflosen N\u00e4chten aufgefrischt.<\/p>\n\n\n\n

Bevor wir versuchen, 348 in seine Primfaktoren zu zerlegen, ein paar Hinweise zu Primzahlen:<\/p>\n\n\n\n

Primzahlen sind definiert als Zahlen, die nur durch 1 oder sich selbst teilbar sind. Per Definition ist 1 keine Primzahl, weil sonst jede Zahl durch 1 als Primfaktor teilbar w\u00e4re. Umgekehrt ausgedr\u00fcckt, sind Primzahlen gewisserma\u00dfen L\u00f6cher in der Reihe der Produkte aus Multiplikationen. Daraus ergibt sich, dass die Reihe der Primzahlen mit 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 und so weiter beginnt.<\/p>\n\n\n\n

Kommen wir zu unserer Beispielszahl 348 zur\u00fcck. Wir haben festgestellt, dass 348 sowohl durch 4 als auch durch 3 teilbar ist. 348 dividiert durch 4 \u2013 ja wie macht man das im Kopf? Ich stelle mir die Zahl aufgeschrieben vor: erst 3 , dann 4 und dann die 8. Die ersten 2 Stellen sind 3 und 4, also 34, 4 mal 8 gleich 32. Also bleiben 2 Rest. Dieser Rest von 2 und die n\u00e4chste Stelle, die 8 sind 28. 28 geteilt durch 4 ergibt 7. Unser Ergebnis ist also die 8 von vorhin und 7 also 87. Zur Kontrolle k\u00f6nnen wir die Ziffernsumme von 87 bilden. Das ergibt zuf\u00e4lligerweise wieder 15, also ist 87 durch 3 teilbar. Nachdem 8 gr\u00f6\u00dfer ist als 3, k\u00f6nnen wir die 8 durch 3 teilen mit dem Ergebnis 3*2 gleich 6 und einem Rest von 2. Diese 2 und die n\u00e4chste Stelle 7 ergeben 27, und wenn man 27 durch 3 teilt, ergibt gibt es 9. Unser Ergebnis der Division von 87 \/ 3 ist gleich 29. Mit 29 haben wir eine Primzahl als Ergebnis, und k\u00f6nnen nicht weiter teilen.<\/p>\n\n\n\n

Das Ergebnis der Zerlegung von 348 in Primfaktoren ist somit 29 * 3 mal 2 * 2. Wie du siehst, habe ich die Division durch 4 in die Primfaktoren von 4 n\u00e4mlich 2 * 2 aufgeteilt.<\/p>\n\n\n\n

In vielen N\u00e4chten und langen Phasen, in denen ich nicht einschlafen konnte, habe ich insgesamt sicher mehrere tausend Zahlen in Primfaktoren zerlegt. Das geht nat\u00fcrlich nur, wenn auch gr\u00f6\u00dfere Zahlen dabei sind, vor allem vierstellige Zahlen. Die Hilfestellungen mit dem Testen, von dem ich vorhin gesprochen habe, ist ja enden wollend. Bei gr\u00f6\u00dferen Zahlen ist es erforderlich Divisionen durch alle m\u00f6glichen Primzahlen durchzuf\u00fchren, um herauszufinden, ob die Zahl teilbar ist oder selbst eine Primzahl. Wenn Du eine gr\u00f6\u00dfere Zahl wie 1549 in Angriff nimmst, die weder durch 2 noch durch 3 oder 5 teilbar ist, bleibt dir nichts anderes \u00fcbrig, als zu pr\u00fcfen, ob die Zahl durch 7, 11, 13, 17, 19 und so weiter teilbar ist. Wenn ich beispielsweise die Zahl 1549 durch 19 dividiere, ergibt das f\u00fcr die ersten 3 Stellen, also f\u00fcr 154: 19 mal 8 gleich 152, bleibt 2 Rest. Jetzt noch die 2 vom Rest an der Zehnerstelle und die vierte Stelle also 9 auf der Einerstelle ergibt 29. 29 geteilt durch 19 geht 1-mal mit 10 Rest. Der Test ergibt also 1549 geteilt durch 19 gleich 81 mit 10 Rest. 1549 ist somit nicht durch 19 ohne Rest teilbar.<\/p>\n\n\n\n

Wenn wir die gleiche Rechnung jetzt mit der Primzahl 41 durchf\u00fchren w\u00fcrden, ist das Ergebnis 37 und der Rest gleich 32. Sobald das Ergebnis kleiner ist als die Zahl, mit der ich teste, brauche ich nicht mehr weiterzumachen. In diesem Fall hat sich herausgestellt, dass 1549 eine Primzahl ist.<\/p>\n\n\n\n

Ein bisschen viele Zahlen auf einmal, nicht wahr.<\/p>\n\n\n\n

(Musikpause)<\/p>\n\n\n\n

Anfangs musste ich beim Testen viel Herumprobieren und t\u00fcfteln, mittlerweile ist mir das Einmaleins der Primzahlen einigerma\u00dfen gel\u00e4ufig, sodass ich recht flott durch die kleineren Primzahlen komme, bei gr\u00f6\u00dferen wird es m\u00fchsam. Au\u00dferdem wollte ich meine Ergebnisse kontrollieren, und habe bei den Ergebnissen meiner Divisionen die Primfaktoren versucht im Kopf zu multiplizieren, um festzustellen, ob ich auch richtig gerechnet habe. Dazu versuche ich die Primfaktoren so zu multiplizieren, dass nur mehr 2 \u00fcbrig bleiben Es ist wirklich nicht einfach 2 gr\u00f6\u00dfere zweistelligen Zahlen zu multiplizieren. Das ist mir dann gelungen, als ich mir die 2 Zahlen als Fl\u00e4che vorgestellt habe und zun\u00e4chst die Zehnerstellen multipliziert habe und dann habe ich die Einerstellen am Rand der Fl\u00e4che dazu gez\u00e4hlt.<\/p>\n\n\n\n

Ein Thema, welches in Zusammenhang mit Primzahlen immer wieder diskutiert wird, ist, dass sie h\u00e4ufig paarweise, wie Zwillinge, auftauchen. Gehen wir noch einmal die Primzahlen von Anfang an durch. Da haben wir 2 und 3, dann folgen 5 und 7, 11 und 13, 17 und 19, dann kommt 23 und danach kommen 29,und 31, 37, 41 und 43.<\/p>\n\n\n\n

Und da haben wir schon einige dieser P\u00e4rchen: 5 und 7, 11 und 13, 17und 19, 29 und 31 sowie 41 und 43. Solche Zwillinge kommen immer wieder vor.<\/p>\n\n\n\n

Und jetzt muss ich euch von einem Aha-Erlebnis berichten, das ich irgendwann einmal in einer dieser schlaflosen N\u00e4chte hatte. Zwischen dem Paar 5 und 7 und dem Paar 11 und 13 liegen 3 Zahlen, die keine Primzahlen sind. Genauso zwischen dem Paar 11 und 13 und dem Paar 17 und 19. Diese Zahlen zwischen Primzahl-Paaren sind jeweils entweder durch 2 teilbar oder durch 3. Die Zahlen zwischen 13 und 17 beispielsweise sind 14 – teilbar durch 2, 15 – teilbar durch 3 und in diesem Fall auch durch 5 und dann 16 – wieder teilbar durch 2.  <\/p>\n\n\n\n

Und jetzt kommt der Clou: die Zahl zwischen den Primzahl-Paaren liegt, ist immer durch die Zahl 6 teilbar. Zwischen 5 und 7 liegt die Zahl 6, zwischen 11 und 13 liegt 12, zwischen 17 und 19 liegt 18. Immer die Zahl 6 oder ein Vielfaches davon. W\u00e4re ich nicht mit geschlossenen Augen im Bett gelegen, h\u00e4tte es mich vom Hocker gehaut. Ich war ganz aufgeregt \u00fcber diese Erkenntnis, und naturgem\u00e4\u00df konnte ich in dieser Nacht nicht sofort wieder einschlafen.<\/p>\n\n\n\n

Nat\u00fcrlich konnte ich es nicht lassen mich im Internet ein wenig umzuschauen, was es zum Thema Primzahlen nicht alles gibt. Der Beitrag in Wikipedia, der damals online war-es ist schon einige Jahre her – war nicht sehr aussagekr\u00e4ftig. Aber mittlerweile gibt es auf Wikipedia[1]<\/a> sehr detaillierte Informationen zum Thema Primzahlen. Der Artikel ist in einer sehr gehobenen mathematischen Sprache formuliert, und ich habe M\u00fche dem stets zu folgen, da ich Mathematik lernen durfte, als noch nicht die Mengenlehre als Basis gedient hat.<\/p>\n\n\n\n

Es gibt noch andere Eigenheiten von Primzahlen. Da die Primzahlen jeweils nur vor oder nach der Zahl 6 oder einem Vielfachen von 6 vorkommen, k\u00f6nnen alle Primzahlen entweder als ein Vielfaches von 4 plus 1 oder 4 plus 3 dargestellt werden. Ein Beispiel: die Zahl 17 ergibt sich aus 4 * 4 gleich 16 + 1. Die Primzahl 19 kann als 4 mal 4 gleich 16 + 3 dargestellt werden. Alle Primzahlen, die ein Vielfaches von 4 + 1 sind, k\u00f6nnen als Summe von 2 Quadratzahlen dargestellt werden. Nehmen wir als Beispiel die Primzahl 29. 7 mal 4 ergibt 28 + 1 gleich 29. Wenn wir jetzt 5 zum Quadrat nehmen, ergibt das 25 plus 4, als Quadratzahl von 2, gleich 29. Probiert es doch aus, es ist wirklich erstaunlich!<\/p>\n\n\n\n

Eine andere Vermutung ist, dass jede gerade Zahl gr\u00f6\u00dfer als zwei sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen l\u00e4sst. Es gibt es zwar noch keinen endg\u00fcltigen Beweis, sagen die Mathematiker, aber viele Indizien sprechen daf\u00fcr.<\/p>\n\n\n\n

Das w\u00e4rs f\u00fcr heute! Ich hoffe der Ausflug in die Zahlenwelt ist auch f\u00fcr euch interessant gewesen. Mich Hat dieses Thema eine Zeit lang wirklich gefesselt. Mittlerweile schlafe ich wieder sehr gut, so dass ich nur mehr gelegentlich, um nicht ganz aus der \u00dcbung zu kommen, ein paar Zahlen im Kopf teste, ob es sich um eine Primzahl handelt oder in welche Primfaktoren ich sie zerlegen kann.<\/p>\n\n\n\n

Mein n\u00e4chster Beitrag wird sich mit einem literarischen Thema befassen. Mehr m\u00f6chte ich diesmal nicht verraten.<\/p>\n\n\n\n

Das Bild mit den W\u00fcrfeln basiert auf einem Foto von erik-and-so-on auf Pixabay. Die Musik stammt von Josef Haydn, gespielt haben das London Symphony Orchestra und am Cello die grandiose Jacqueline du Pr\u00e9.<\/p>\n\n\n\n

Ich empfehle mich hiermit f\u00fcr diesmal und hoffe, ihr seid das das n\u00e4chste Mal wieder dabei..<\/p>\n\n\n\n

Passt auf euch auf und locker bleiben! <\/p>\n\n\n\n

PS: eine Anmerkung noch: wenn man feststellen will, ob eine Zahl eine Primzahl sein kann, l\u00e4sst sich auch pr\u00fcfen, ob die Zahl davor oder danach durch 6 teilbar ist \u2026 das ergibt sich aus dem oben gesagten.<\/p>\n\n\n\n

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[1]<\/a> Wikipedia, zuletzt besucht am 08.08.2026 https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Primzahl<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Der Mensch kommt schon sehr fr\u00fch in seinem Leben mit Zahlen in Ber\u00fchrung. Ganz kleine Kinder lernen schon zu z\u00e4hlen und mit Zahlen umzugehen. Meine allererste Erinnerung an das Rechnen mit Zahlen kam so: Wir waren erst vor ganz kurzer Zeit in eine neue Wohnung in Ottakring gezogen und ich durfte in den sogenannten Hof […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-307","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-allgemein"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/307","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=307"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/307\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":311,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/307\/revisions\/311"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=307"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=307"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.bimmerl.at\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=307"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}